El paradójico Hotel infinito de Hilbert

Autor: Aut.: M. Macho
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Érase una vez un hotel con infinitas habitaciones (en cantidad numerable, es decir, ordenadas según la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, etc.), con el categórico lema:

 Se garantiza el alojamiento a cualquier nuevo/a huésped.

hotel1

"Benvenuti all'albergo infinito", primer escenario de la obra de teatro "Infinities" de John Barrow, 
http://www.piccoloteatro.org/infinities/

Es temporada alta y el hotel está lleno. Llega un pasajero cansado, con ganas de alojarse… ¡El Hotel va a incumplir su desmedida consigna! ¿O no?

 No… el eficaz recepcionista -Jack Torrance- sabe lo que debe hacer. Utiliza la megafonía del hotel para avisar a sus clientes/as:

Por favor, les rogamos que pasen de la habitación que ocupan -n- a la siguiente habitación -n+1-. Muchas gracias por su colaboración.

Jack ha conseguido que la habitación número 1 quede libre, cumpliendo fielmente la promesa del hotel.

hotel2

Al día siguiente el hotel sigue lleno, llueve a cántaros, y no pudiendo dormir en sus tiendas de campaña, llegan al hotel infinitos boy-scout. Jack sabe lo que tiene que hacer, y de nuevo utiliza la megafonía del hotel para solicitar:

Por favor, les rogamos que pasen de la habitación que ocupan -n- a habitación con número doble -2n-. Muchas gracias por su colaboración.

Jack consigue así que todas las habitaciones impares queden libres, para alojar en ellas a los alborotados boy-scout.

hotel3

"Benvenuti all'albergo infinito", primer escenario de la obra de teatro "Infinities" de John Barrow, 
http://www.piccoloteatro.org/infinities/

Unos días más tarde, el hotel sigue lleno, y aprovechando una insuperable oferta de fin de semana, “aterrizan” en el hotel infinitas excursiones con infinitos/as pensionistas.

¡Esta vez Jack no lo va a conseguir!

No es así… Jack es un profesional y ni se inmuta. Envía un SMS sólo a las habitaciones con número primo -p- o alguna potencia de un número primo -pn- con el siguiente mensaje:

Por favor, les rogamos que pasen de la habitación que ocupan -h- a la habitación numerada con su cuadrado -h2-. Muchas gracias por su colaboración.

(En realidad el mensaje era: “Kmbia h x h^2. Gracias“, pero lo he traducido para que se entienda).

Así han quedado libres todas las habitaciones numeradas con potencias impares de primos. Jack asigna entonces a cada una de las excursiones un número primo p -Jack sabe que lo puede hacer porque hay infinitos números primos, es el Teorema de Euclides- y a cada pensionista de cada excursión un número impar m -también hay infinitos de éstos-. Y adjudica al pensionista número m de la excursión número p la habitación pm.

¡Jack es el mejor!

Los pensionistas pueden ir a descansar para prepararse para el guateque nocturno…

hotel hilbert from asjkdfnewkl nkletholsjd on Vimeo.

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