Lógica vs. intuición en la creación matemática

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.
Fuente: Cuaderno de Cultura Científica (a través de Divulgamat)

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Imagen: Bill Sanderson

El matemático, físico y filósofo Henri Poincaré (1854-1912) ha tenido una influencia indudable en la ciencia moderna. Se interesaba mucho por la manera en la que se manifestaba la intuición matemática. En [2], Poincaré recuerda la siguiente anécdota:

“Por entonces salí de Caen, donde a la sazón vivía, para participar en una excursión geológica organizada por la escuela de minas. Las incidencias del viaje me hicieron olvidar mis trabajos matemáticos. En determinado momento estábamos en Coutances y habíamos de subir a un ómnibus para desplazarnos a otro sitio. Justo al poner el pie en el estribo, sin que ninguno de mis pensamientos precedentes pareciese haberla propiciado, me vino la idea de que las transformaciones que había usado para definir las funciones fuchsianas eran idénticas a las de la geometría no euclídea. No proseguí el razonamiento, ni hubiese tenido ocasión de ello, pues me senté en mi asiento y continué una conversación previa, pero estaba completamente seguro. A mi regreso a Caen lo comprobé concienzudamente por pundonor.”

El fragmento que se incluye a continuación está extraído de la primera parte de [3] –dedicada a las ciencias matemáticas–, del capítulo titulado La intuición y la lógica en matemáticas. Poincaré razona sobre el papel que juegan la intuición y la lógica en la creación matemática.

Buscamos la realidad, pero ¿qué es la realidad?

Los fisiólogos nos enseñan que los organismos están formados por células; los químicos agregan que las células mismas están formadas por átomos. ¿Quiere decir esto que esos átomos o esas células constituyen la realidad o, por lo menos, la única realidad? La forma en que estas células están dispuestas y de la cual resulta la unidad del individuo, ¿no es también una realidad mucho más interesante que la de los elementos aislados? Un naturalista que no hubiera estudiado nunca al elefante sino con el microscopio, ¿creería conocer suficientemente a este animal?

Pues bien, en matemáticas ocurre algo análogo. El lógico descompone, por decirlo así, cada demostración en un número muy grande de operaciones elementales; cuando se hayan examinado estas operaciones, unas después de otras, y se haya comprobado que cada una de ellas es correcta, ¿se creerá haber comprendido el verdadero sentido de la demostración? ¿Asimismo, se habrá comprendido cuando, por un esfuerzo de memoria, nos hayamos capacitado para repetirla, reproduciendo todas esas operaciones elementales en el mismo ordenen que las había colocado el inventor?

Evidentemente, no; todavía no poseeremos la realidad completa; ese no sé qué que hace la unidad de la demostración, se nos escapará totalmente.

El análisis puro pone a nuestra disposición una multitud de procedimientos cuya infalibilidad nos garantiza; nos abre mil caminos diferentes en los que podemos entrar con toda confianza; estamos seguros de no encontrar obstáculos en ellos, pero ¿cuál todos de esos caminos es el que nos llevará más rápidamente al fin? ¿Quién nos dirá cuál hay que elegir? Nos hace falta una facultad que nos haga ver el objeto de lejos y esa facultad es la intuición. Es necesaria al explorador para elegir su ruta; no lo es menos a quien sigue sus huellas y quiere saber por qué la ha elegido.

Si asistís a una partida de ajedrez, para comprenderla no os bastará saber las reglas del movimiento de las piezas. Esto os permitirá solamente reconocer que cada jugada ha sido hecha conforme a estas reglas, y esta ventaja tendrá verdaderamente muy poco valor. Es, sin embargo, lo que haría un lector de un libro de matemáticas, si no fuera más que lógico. Comprender la partida es enteramente otra cosa; es saber por el jugador avanza tal pieza más bien que tal otra que habría podido mover sin violar las reglas del juego. Es advertir la razón íntima que hace de esta serie de jugadas sucesivas una especie de todo organizado. Con mayor razón, esta facultad es necesaria al jugador mismo, es decir, al inventor.

[…] Por ejemplo, veamos lo que ha ocurrido con la idea de función continua. Al principio no era más que una imagen sensible, por ejemplo, la de un trazo continuo descrito con tiza en un pizarrón. Después se ha depurado poco a poco; pronto se ha utilizado para construir un complicado sistema de desigualdades, que reproduciría, por decirlo así, todas las líneas de la imagen primitiva; cuando esta construcción estuvo terminada, se ha descimbrado, por decirlo así, se ha desechado esta representación grosera que momentáneamente le había servido de apoyo y que sería inútil en adelante; no ha quedado más que la construcción misma, irreprochable ante los ojos del lógico.

Sin embargo, si la imagen primitiva hubiera desaparecido totalmente de nuestro recuerdo, ¿cómo adivinaríamos por qué capricho se han dispuesto estas desigualdades de esa manera, unas sobre otras?

[…] Así es como las antiguas nociones intuitivas de nuestros antepasados, aun cuando las hayamos abandonado, todavía imprimen su forma a los andamiajes lógicos que hemos colocado en su lugar.

Esta vista de conjunto es necesaria al inventor; es necesaria igualmente a aquél que quiere realmente comprender al inventor. ¿Puede dárnosla la lógica?

No, el nombre que le dan los matemáticos bastaría para probarlo. En matemáticas, la lógica se llama análisis, y análisis significa división, disección. No puede tener, pues, otra herramienta que el escalpelo y el microscopio.

De este modo, la lógica y la intuición tienen cada una un papel necesario. Ambas son indispensables. La lógica, que puede dar por sí misma la certeza, es el instrumento de la demostración; la intuición es el instrumento de la invención.

Referencias

[1] Yasmina Liassine, Le goût des mathématiques, Mercure de France, 2013

[2] Henri Poincaré, Ciencia y método, Espasa, 1965

[3] Henri Poincaré, El valor de la ciencia, Espasa, 1964

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